Prime avoidanceについて(2)
前回の続きでPrime avoidanceの話です. この記事の便宜のため, 次のような定義をしますが一般的な用語ではもう全くないです.
定義1 $n\in\mathbb{N}$ とする. 可換環 $R$ の イデアル $I$ が $n$-avoidableであるとは, $n$ 個のイデアル $P_1,\dots,P_n$ に対し, $I\subset \bigcup_i P_i$ ならば $I\subset P_j$ となる $j$ が必ず存在することとする.
この定義を用いると元々のPrime avoidanceは次の二つの命題に分けることができます.
命題2 $R$ の イデアル $I$ は $n$-avoidableであるとする. このとき任意のイデアル $P_1,\dots,P_n$ と素イデアル $P_{n+1},\dots,P_{n+r}$ に対し, $I\subset \bigcup_i P_i$ ならば $I\subset P_j$ となる $j$ が存在する.
[命題2の証明] 対偶を $r$ についての帰納法で示す. $r=0$ のときは $I$ が $n$-avoidableであることの定義からわかる. $r>0$ とする. $P_{n+r}$ は他のどの $P_i$ も含まないとしてよい. もし $I\not\subset P_i$ $(\forall i)$ となるなら $P_{n+r}$ が素イデアルであることから $a\in IP_1\cdots P_{n+r-1}\setminus P_{n+r}$ がとれる. また帰納法の仮定から $b\in I\setminus (P_1\cup\cdots P_{n+r-1})$ が存在する. $b\not\in P_{n+r}$ なら $I\not\subset \bigcup_i P_i$ となるのでよい. よって $b\in P_{n+r}$ とすると, $a+b\not\in P_i$ $(\forall i)$ であるから, $I\not\subset \bigcup_i P_i$ が従う.□
命題3は実は前回の定理3を使って示すことができます. まずは前回の定理3を次のように書き直します.
定理4 $R$ の $l$ 個の元 $\mu_1,\dots,\mu_l$ で $\mu_i-\mu_j\in R^\times$, $\forall (i,j), i\not=j$ となるものが存在するとする. イデアル $I$ は $r$ 個の元 $a_1,\dots,a_r$ で生成されているとする. このとき, $n\in\mathbb{N}$ が $l+1>(r-1)n$ を満たすならば, $I$ は $n$-avoidableである.
[命題3の証明] $\mu_1=0,\mu_2=1$ とすると $\mu_1-\mu_2=1\in R^\times$ である. よって定理4より, $R$ の任意の高々 $2$ 元生成イデアルは $2$-avoidableである. 命題3はこのことと次の補題から従う.□
補題5 $R$ は可換環とする. $n\in\mathbb{N}$ に対し, 次は同値:
(1) $R$ の任意のイデアルは $n$-avoidable,
(2) $R$ の任意の高々 $n$ 元生成イデアルは $n$-avoidable.
(1) $R$ の任意のイデアルは $n$-avoidable,
(2) $R$ の任意の高々 $n$ 元生成イデアルは $n$-avoidable.
[補題5の証明] (1)$\implies$(2): 明らか. (2)$\implies$(1): $R$ のイデアル $I,P_1,\dots,P_n$ が $I\not\subset P_i$ $(\forall i)$ を満たすとする. 各 $i$ について $a_i\in I\setminus P_i$ をとる. $J=(a_1,\dots,a_n)$ とおくと $J$ は高々 $n$ 元生成イデアルであり, $J\subset I$ である. 仮定から $J$ は $n$-avoidableであり, $J\not\subset P_i$ $(\forall i)$ だから, $J\not\subset \bigcup_i P_i$ である. よって $I\not\subset \bigcup P_i$ となるから $I$ は $n$-avoidableである.□
前回は $3$-avoidableでないイデアルの例を素環が $\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ のときに作りました. 定理4と補題5を合せると 環 $R$ が 位数 $7$ 以上の体を含むときは 任意のイデアルが $3$-avoidableとなるようです. 標数 $3$ または $5$ で $3$-avoidableではないイデアルがあるかどうかはわかりませんでした.
